星形7角形の角の和 立命館
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- Опубликовано: 5 мар 2025
- 数学を数楽にする高校入試問題81
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川端哲平の自己紹介
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明、法政二などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミー、Z会進学教室で教えていました。（高校受験 大学受験）
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いやー、本当に懐かしいです。
実は僕、この問題は中学2年生の時に別解で答えを出しました。
以下 別解
a,b,c,d,e,f,gを頂角とし、内部の7角形と交差する点で作られる三角形が7つある。
7つの内角の和は180度×７なので1260度となる。
内部の7角形に注目すると、各々の三角形の残りの二つの角は内部の7角形の外角となる。外角の和が360度という公式を使うと、各々の残りの2つの角を足すと外角の和×2となり360度×2となる。
それを内部の三角形の内角の和から引くと1260度ー720度(360度×2)となり540度となる。
いかがでしょうか。
30年前の小学生時代を思い出しました。こちらの方が本筋の回答だったように思います。こういうのが解けると楽しくなりましたね。
なぜ残り二つの角の和が外角の二倍になるのでしょうか？
２回足しているからという解釈でよろしいでしょうか....
@@せんごく-q9n ふたつの角の右側、左側が各々七角形の外角になります。右側だけを足していくと七角形の外角の和となり360°となります。左側も同様に足していくと外角の和となり360°となります。右側の角と左側の角の総和は360°+360°となり720°となります。
結果的に外角の和を二回足した結果になりますね。
@@taisukekaz 分かりやすいご回答有難うございます
わかりやすい説明ありがとうございます！おかげで理解出来ました！
これ
車とかでずっと同じ方向に曲がり続けたとして
7回右折(左折)して同じ位置に戻ってるとすれば一週して7角形なので内角の和は900度
でもこれ7回曲がる間に2周してるから360度差し引いて540度
て直感的に考えて動画見てたら答えはその通りだった。
小学校のとき塾で印象的な問題だったなあ
懐かしい問題
内側の7角形の内角を適当におく。
それぞれ何らかの四角形の内角となっているからそれぞれabcdなど用いて足し合わせることで関係式を得られる。
(7角形の内角)=180・(7-2)=900
又、たてた関係式は
(7角形の内角)=360×7－3×(求める内角の和)から
(求める内角の和)=540度
角度が７つあってちょっと図が描きにくかったんですが、計算してみると意外にもあっという間でした。
内側の七角形の角をdとbの間に位置するものから時計回りにα,β,γ,δ,ε,ζ,ηとすると、
a+b+f+ε(①)は四角形の内角の和
d+e+δ+g(②)は四角形の内角の和
α+β+γ+c+ζ+η(③)は六角形の内角の和
α+β+γ+δ+ε+ζ+η(④)は七角形の内角の和で
四角形2つと六角形1つが重なったものから七角形を引くものと捉えて、
①+②+③-④から
a+b+c+d+e+f+gが求まりますね
色んな解法があって面白いです
外側の三角形7つ180×7で1260
一番内側の七角形の2種類の外角分、つまり360+360で720をひいて1260-720=540
おおー
ファンタスティック！！
すげー思いつかんかった
解説見る前に解いたのですが、私もこれで解きました。
ちなみにいかなる多角形も、二種類の全ての外角の和は、必ず720度になります。
こっちの方がすっきりしていて美しい解法かも。
このタイプの問題には公式があります。
０点飛ばし→180°×(n－２)
１点とばし→180°×(n－４)
２点とばし→180°×(n－６)
３点とばし→180°×(n－８)
となります。
この問題は1点飛ばしでnが7なので
180°x（7-4）=540°
小5の下の子は秒で解きます。
まだコメントに出ていない考え方：
直線が折れることを繰り返し、2回転して元の向きに重なるので折れる角度の合計が4π
∴(π-a)+(π-b)+・・・+(π-e)+(π-c)=4π a+b+・・・+e+c=7π-4π=3π
ピーターフランクルの本で、この手の問題の面白い解き方あったな
これ中3でやったんやけど小学校でやったとか見てびびってる
2周してるのをぐいっと曲げて1周にしてしまえばただの7角形で5*180=900deg
1周分余計なので360戻して900-360=540deg
各角度a,b,･･･,fの頂点をA,B,･･･,Fとして、
辺CEと辺FB, 辺CEと辺FGの交点をそれぞれX, Y、
∠FXY,∠FYXの角度をそれぞれx, yとする.
ここで四角形ABXCをみるとa+b+c = x+180°
さらに四角形DEYGをみるとd+e+g = y+180°
よってa+b+c+d+e+g+f = x+180° + y+180° + f = f+x+y +360°
三角形FXYの内角の和は180°なので
a+b+c+d+e+f+g= 540°
と求まります.
円柱の中に複数球が存在する問題あげてほしいです！！
一筆書き出来る星型の角の和はペンを各頂点分の角度分だけ回転させて、ペンが何周したかをみれば答えは出ます。
180°の倍数になってる筈なので。
詳しく教えてほしいです。
星型n角形の角度の和は180（n-4）で求められますよ。
今回なら星型七角形なので180×3で540°ですね。
ai okose
かわばた先生の図を使うなら、
①辺abにペン先がaの向くようにペンを置きます
②角bを軸に角bの分だけ動かしてペン先をfに向けます
③今度は角fを軸に角fの分だけ動かしてペンのお尻をgに向けます
④これを一筆書きの順に角b→f→g→d→e→c→aと行ってく間に最初のabに置いたペンの向きから何回回転(あるいは何回半回転)したかを数えます
今回は1回転半するので180×3で求められるってことだと思います
僕はやってみましたが何回転したかよく分からなかったですwww
証明はどうするんや笑
外側の7つの三角形それぞれに外角定理(スリッパ)を適用すると、
a+(七角形の1つの外角)=(七角形の1つの内角)
b+(七角形の1つの外角)=(七角形の1つの内角)
...
g+(七角形の1つの外角)=(七角形の1つの内角)
↑の7つの式をすべて足すと、
(a+b+…+g)+(七角形の外角の和)=(七角形の内角の和)
よって、(a+b+…+g)=(七角形の内角の和)-(七角形の外角の和)=900°-360°=540°
面白い問題だ
角aとf、角cとdのそれぞれの頂点を補助線でつなぐ。スリッパを利用して、角aとf、角cとdの一部をそれぞれ角gが含まれる三角形に集めます。すると、「角gが含まれる三角形」と先ほどの補助線で区切られた、「スリッパを使っていない方の三角形」二つの角度の和を求めれば良い。
180×3=540°
私はいつもこの種の問題は頂点を移動して(位置関係が変化しない様に注意して)、bとe、cとfを重ねます。すると三角形と四角形ができ 180+360=540°とやっています。
中学入試でやったな 懐かしい
補助線dfとbeを引くと三角形dfgができ、この三角形からハミ出た角d、角fの分が対頂角が等しい三角形として四角形acebのbとeの方に移動するので三角形一つと四角形一つの内角の和=540°と解きました。
内側の七角形の内角にa~gを振ると、求めたい角をa+b-180、b+c-180、……、g+a-180と表せるから、全部足して2(a+b+……+f+g)-7*180
a+b+……+f+gは七角形の内角の和なので900
よって、10*180-7*180=3*180=540
と求めました
絶対もっと早いやり方あるんだろうなあと思いながらやってました笑
あと求めたいところに直接文字を振らずに、その周りに振って、求めたいものを文字式で表す癖はいつついたんだろうか……
af、gcに補助線を引いて蝶々型のあれで三角形と四角形の内角の和
円周角の定理？
@@ビビVV 円周角では無いです
@@ああ-p5d1w
じゃあなんですか！？
星型7角形は中に3つの星（普通の5角形の星）を書くことができます。5角形の星の内角の和は180度なので180×3で540度と一瞬で答えが出てきます。
A A A A A 七芒星
豊島岡女子で同じ問題が出てた気がします
私は角度を移動させて、五角形を作りました。
計算式を立てなくても、角b、dを直線で、角a、eを直線でそれぞれ結び、四角形bdgfと三角形ac eを考えると、線分abと線分d eの交点を頂点とする2つの相似三角形があることに気づけば、答えは四角形360度と三角形180度の合計として1発暗算では？（還暦過ぎ爺いの戯言です。）
中学受験で小4の最後の方でやっておおおってなりがち問題
これ明治学院東村山にも同じ問題ありましたね
X+2Yではなく、360-Xで求めました。文字も少なくなるのでわかりやすいと思います。
いかなる図形も、全ての外角の和が720度であることを知っていれば、瞬殺。
周囲7つの三角形は、頂点以外の角は全て内側の七角形の外角なので、
180×7-720=540度で、秒で答えが出ます。
それに外角の和が720度と知らなくても、七角形の内角の和から、外角の和も簡単に求められ、
数学の知識がなくても解けるので、算数でも出題可能な問題です。
n角形の全ての内角の和は、
2・{180n-180(n-2)}
=2・{180(n-n+2)}
=2・180・2=720
この様に文字が完全に消えて、
必ず720度になります。
こういう問題って
180か360か540のどれかですよね笑
この問題、数学の先生に出されたので一発で分かりましたw 数学の問題が知識(？)だけで解けるなんてw
これウィニングの2年に載ってるよな
シンプルな問題なのに、解法がコメにたくさんあっていいね笑
ちなみにぼくは、aのところからfまでと、gからcまでの、補助線を二本引いて、aとfの角の下側の切れ端を、ちょうちょ型の角移動でgとcにくっつけた。
そうするとa~fの和は四角形一つ+三角形1つ分になるから180+360=540
全く同じ解き方だった。中学受験でやったの思い出しました
四角形の定理の和は３６０度で’角７つなら９０X7＝６３０これじゃだめなのか
7角形の内角の和が900、跨いだ辺の数？が5つ中３つだから3/5かけて540。
うまく日本語にできない…
これってさ角の数をnと置くと
90（n-1）ってやつでできるくね？
この場合だと角が7だから
90（7-1）=540
これ違うの？
わしも同じ考え方やな～
星型だといかなる形も180°なのでその公式は成り立たないかと思います
図形が変形できるものだったので、内側の図形を正七角形と考えて解きました
小学生の時、塾の先生が書いたこの図を板書しようとしたときに、うまく書けなくてノートに四苦八苦しながら写していた思い出があります。(笑
動画開いたら、かわばたさんの綺麗な図があらわれてびっくりしましたｗ
三角形の和と 四角形の和
に帰結させる方法なら一瞬だと思います
角a,fの頂点に補助線、gcに補助線
その上の三角形abfと
四角形dgce
の内角の和に帰結できる
都立国立高校の2020大問3
2の（2）を解説して欲しいです。
親の顔より見た問題
そんなことはないかと笑笑
高校か大学かしりたい
高校受験です
@@suugakuwosuugakuni よかった
これ系の角度の求め方は、
足す角度の個数をnとすると、180（nー4）の式で求められますよ。
ほんとうですか？
@@にゅかにゅか はい。
他のこういう系の問題なら解けますよ
aeとbgにそれぞれ補助線を引く。
補助線によって区切られた
aの一部とeの一部+c=180°
bの一部とgの一部+f=180°
もう片方aの一部ともう片方eの一部を外角を使って∠dがある三角形に集める。
同様にもう片方bの一部ともう片方gの一部を外角を使って∠dがある三角形に集める。
そうすると三角形3つ分になるから180×3=560°
ちょっと一休みかな。
霜降りのせいやに似てる笑
暗記してた(((
草